System
persamaan dua variabel
Suatu garis dalam bidang koordinat
dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk: a1x + a2y = b Persamaan
semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara
umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, .
. . xn dalam bentuk berikut. a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b dengan
a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real.
Garis x + y = -2 membagi bidang
koordinat menjadi dua daerah, yaitu daerah x + y < - 2 dan daerah x + y >
- 2.
Sekarang,
substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut.
Didapat, 0 + 0 = 0 > - 2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x +
y > - 2. Jika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua
variabel, dan pertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentukl ah suatu
sistem. Sistem inilah yang dinamakan sistem per tidaksamaan linear dua
variabel.
Definisi Sistem Pertidaksamaan
Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu
sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap
pertidaksamaan tersebut mem punyai dua variabel.
Langkah-langkah menentukan daerah)
penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel sebagai
berikut.
a. Gambarkan setiap garis dari
setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan dalam sistem
pertidaksamaan linear dua variabel.
b. Gunakanlah satu titik uji untuk
menentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel.
Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan
yang berbeda. c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear,
yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan
linear dua variabel pada langkah b.
Dalam sistem pertidaksamaan linear
dua variabel, Siswa tidak hanya diminta untuk mencari daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan.
Kadang-kadang, siswa juga diminta
untuk membuat persamaan atau pertidaksamaan linear dari yang diberikan.
Tentunya, Anda harus mengingat kembali tentang persamaan garis yang telah
dipelajari. Jika garis batas yang akan diberikan pada daerah penyelesaian
sistem perti daksamaan linear memotong sumbu
Ø SISTEM PERSAMAAN
DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL
Bentuk umum:
a1 x + b1y = c1
a2 x + b2y =
c2 dengan a1, b1, c1, a2, b2
dan c2 R
Menentukan penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan beberapa
cara, diantaranya
adalah menggunakan menggunakan metode :
1. metode substitusi
2. metode eliminasi
3. metode eliminasi – substitusi
1. Menyelesaikan SPLDV dengan metode
substitusi
Sistem persamaan linier dua variabel ( SPLDV ) : 2x – y
= 5
-3x + y = 4
Dapat ditulis dalam bentuk lain, misalnya :
y = 2x - 5 ……1)
y = 4 + 3x ……2)
Karena y pada persamaan 1) sama dengan nilai y pada persamaan
2), maka
2x – 5 = 4 + 3x
2x – 3x = 4 + 5
- x = 9
x = -9
x = – 9 disubstitusikan ke persamaan 1)
atau 2)
Persamaan 1)
y = 2x - 5
y = 2(-9) - 5
y = -18 - 5
y = -23
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah : (-9 , -23)
2. Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode
Eliminasi
Misalkan kita ingin menentukan himpunan
penyelesaian dari SPLDV berikut :
2x - y =
2 ………… 1)
3 x - 2y = 1
………… 2)
Misalnya kita akan mengeliminasi variabel y.
Karena koefisiennya tak sama, maka kita akan mengalikan pers 1) dan
2) dengan konstanta yang bersesuaian sehingga koefisien y menjadi
sama.
2x - y =
2 x 2 4 x -
2 y = 4
3x - 2y = 1
x 1 3x
- 2 y = 1 _
x - 0 = 3
x = 3
Mengeliminasi variabel x
2x - y =
2 x 3 6 x
- 3 y = 6
3x - 2y = 1
x 2 6x
- 4 y = 2 _
0 + y = 4
y = 4
Jadi himpunan penyelesaian = (3 , 4)
3. himpunan
penyelesaian SPLDV berikut dengan metode eliminasi
a. 4x - 3y = 31
b. 4y - 2x = 44
2x + 5y = 33
2y + 3x = 22
3. Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode
Eliminasi dan Substitusi
Contoh :
Tentukan himpunan Penyelesaian dari
2x - 3y = 4
……… 1)
7x + 2y = 39 ………
2)
Solusi
2x - 3y = 4 x
7 14x
- 21y = 28
7x + 2y = 39 x 2
14x
+ 4y = 78
0 - 25y = -50
y =2
Substitusikan y = 2 ke
persamaan 1)
2x - 3y = 4
2x - 3( 2 ) = 4
2x - 6 = 4
2x = 10
x = 5
Himpunan penyelesaian = (5, 2)
Ø Menyelesaikan
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ( SPLTV )
SPLTV dengan variabel x, y, z secara umum dinyatakan sebagai
berikut :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z =
d3
dengan ai, bi, ci, di R, i = 1, 2, 3
Menyelesaikan SPLTV berarti menentukan nilai variabel x, y, dan z yang memenuhi
ketiga persamaan linear tersebut.
Penyelesaian dari SPLTV adalah HP = (x, y, z)
Untuk menentukan HP dari SPLTV dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV :
x - y + 2z = 5 …………….1)
2x + y - z = 9
…………….2)
x – 2y + 3z = 4 …………….3)
Solusi
Misalkan kita akan mengeliminasi variabel x
* 1) dan 2)
x - y + 2z =
5 x 2
2x - 2y + 4z = 10
2x + y - z =
9 x 1 2x
+ y - z =
9 _
- 3y + 5z = 1 …………4)
* 1) dan 3)
x - y + 2z = 5
x – 2y + 3z = 4 _
y - z = 1
……….. 5)
• 4) dan 5)
- 3y + 5z = 1
x 1 -3y + 5z
= 1
y - z =
1 x 3
3y - 3z = 3 +
2z = 4
z = 2
Substitusikan z = 2 ke 5)
y - z = 1
y - 2 = 1
y = 1 + 2
y = 3
Substitusikan y = 3 dan z = 2
ke 1)
x - y + 2z = 5
x - 3 + 2(2) = 5
x - 3 + 4 = 5
x + 1 = 5
x = 4
Jadi himpunan penyelesaian = (4, 3, 2)
B.
Sistem Pertidaksamaan linear
Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Kita ingat bahwa suatu pertidaksamaan adalah
kalimat terbuka yang memuat salah satu dan tanda-tanda ketidaksamaan seperti:
lebih dan (>), tidak kurang dan (
), kurang dan (<), atau tidak lebih dan (
).
Untuk memahami pengertian pertidaksamaan linear dengan dua
variabel, simaklah beberapa
bentuk hubungan berikut
i) x - 3y < 5 iii) x - y
> -3
ii) 2x + y 4 iv) 2x + 5y 10
Dan hubungan-hubungan di atas dapat diamati dua hal, yaitu:
hubungan itu memuat salah
satu lambang ketidaksamaan disebut pertidaksamaan.
hubungan itu memuat dua
variabel (variabel-variabel x dan y) dan masing-masing variabel berpangkat satu
(linear) disebut linear dengan dua variabel
Bertolak dari pengamatan tersebut, maka
bentuk-bentuk hubungan di atas dinamakan sebagai pertidaksamaan linear dengan
dua variabel. Dengan demikian, pertidaksamaar.
linear dengan dua variabel dapat didefinisikan sebagai berikut:
Pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah suatu
pertidaksamaan yang di
dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu
berderajat satu.
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
linear dua variabel
secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah
(algoritma) sebagai berikut.
1.
Gambarlah garis 
pada sebuah
bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan titik potong garis dengan sumbu . Garis ini membagi
bidang Cartesius menjadi dua bagian bidang.
2.
Ambil sebarang titik uji 
yang terletak
di luar garis dan hitunglah
nilai 
kemudian
bandingkan nilai 
dengan nilai c.
Jika 
, maka bagian belahan bidang yang memuat titik ditetapkan
sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
.
Sebaliknya jika 
, maka bagian belahan bidang yang memuat titik ditetapkan
sebagai daerah himpunan penyelesaian dan pertidaksamaan 
.
Tandailah bagian belahan bidang yang
menunjukkan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan
raster, sedangkan bagian belahan yang diraster (daerah bersih) menunjukkan
bukan daerah himpunan penyelesaian
Contoh:
Tentukanlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksarnaan
linear dua variabel 
Penyelesaian:
1.
Gambarlah garis .
Untuk x = 0. diperoleh y =
-4, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -4)
Untuk y = 0, diperoleh x = 3,
titik potong dengan sumbu X adalah (3, 0)
Garis digambarkan
pada bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik (0, -4) dan titik (3, 0).
2.
Ambil titik uji P(0, 0), sehingga diperoleh hubungan 
Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi
pertidaksamaan ditandai dengan
warna sebagaimana
Ø Sistem Persamaan
Linear Dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Sistem persamaan linear dan kuadrat dua
variabel x dan y secara umum berbentuk :
y = ax + b
y = px2 + qx + r
dengan a, b, p, q dan r R
Untuk menentukan himpunan penyelesaian
SPLKDV digunakan metode substitusi – eliminasi
Contoh
Tentukan SPLKDV berikut :
y = 6x - 6
………. 1)
y = x2 + 3 ………. 2)
Solusi
x2 + 3 = 6x - 6
x2 - 6x + 9 = 0
(x – 3 )( x – 3) = 0
x = 3
x = 3 substitusi ke
1)
y = 6x - 6
= 6(3) – 6
= 18 - 6
y = 12
Jadi himpunan penyelesaian = (3,
12)
Ø Berikut ini adalah
contoh masalah sehari-hari yang merupakan masalah persamaan linear. Pertama
kali yang kita lakukan adalah menerjemahkan masalah tersebut ke dalam
bahasa matematika atau yang sering disebut dengan merancang model matematika.
Keahlian membuat model matematika mutlak dimiliki untuk menyelesaikan masalah
dengan benar. Selanjutnya menyelesaikan masalah tersebut dengan konsep-konsep
sistem persamaan linier.
Contoh soal:
Di suatu toko Adi membeli 4 buku tulis dan 3 pensil
dengan harga Rp 9.750,00 dan Budi membeli 2 buku tulis dan sebuah pensil
dengan harga Rp 4.250,00. Jika Frida membeli 5 buku tulis dan 2 pensil
berapakah harga yang harus dibayar oleh Frida ?
Solusi
Model matematika
Misalkan harga sebuah buku tulis : x rupiah dan harga sebuah pensil y rupiah
Maka model matematika dari masalah di atas :
4x + 3y = 9.750 …………… 1)
2x + y = 4.250 …………… 2)
Dengan metode eliminasi dan substitusi diperoleh sebagai
berikut :
4x + 3y =
9.750 x 1
4x + 3y = 9.750
2x + y =
4.250 x 3
6x + 3y = 12.750 _
-2x = -3000
x = 1.500
x = 1.500 substitusi ke persamaan 1)
4x + 3y = 9.750
4( 1.500 ) + 3y = 9.750
6.000 + 3y = 9.750
3 y = 9.750 – 6.000
3y = 3.750
y = 1.250
Jadi harga sebuah buku tulis Rp 1.500,00 dan harga sebuah pensil
adalah Rp 1.250,00
Frida membeli lima buku tulis dan dua pensil, sehingga Frida harus membayar
5 ( 1.500 ) + 2 ( 1.250 ) = Rp 10.000,00
Ø Penerapan
Pertidaksamaan Satu Variabel Berbentuk Pecahan Aljabar
Contoh
Sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang akan dibuat dengan keliling 50 m.
Jika luas kolam renang tersebut paling sedikit 136 m2, tentukan ukuran
panjang kolam renang yang memenuhi syarat tersebut
Solusi
Keliling kolam renang adalah 50 m
Keliling ( K ) = 2 (p+l) = 50
L = 25 - p
Luas kolam sedikitnya 136 m2.
Luas (L) = p.l
p(25 - p) 136
25 p - p2 136
P2 - 25 p - 136 0
(p – 17)(p – 8) 0
Titik kritisnya 8 dan 17. Pada garis bilangan kita gambar
seperti berikut
O O
8 17
Jadi ukuran kolam renang yang memenuhi suarat adalah yang memiliki panjang
antara 8 m sampai 17 m
