mat System persamaan dua variabel

   System persamaan dua variabel

Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk: a1x + a2y =  b Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linear dalam variabel x dan y (dua variabel). Secara umum, dapat didefinisikan sebagai persamaan linear dengan n variabel x1, x2, . . . xn dalam bentuk berikut. a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b   dengan a1, a2, . . ., an, b adalah konstanta-konstanta real.  

Garis x + y = -2 membagi bidang koordinat menjadi dua daerah, yaitu daerah x + y < - 2 dan daerah x + y > - 2. 

Sekarang, substitusi titik sembarang, misalnya titik O(0, 0) ke persamaan garis tersebut. Didapat, 0 + 0 = 0 > - 2. Ini berarti, titik O(0, 0) berada pada daerah x + y > - 2.  Jika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentukl ah suatu sistem. Sistem inilah yang dinamakan sistem per tidaksamaan linear dua variabel.  

Definisi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut mem punyai dua variabel.  

Langkah-langkah menentukan daerah) penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel sebagai berikut. 

a. Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 

b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda. c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel pada langkah b.  

Dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel, Siswa tidak hanya diminta untuk mencari daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan. 

Kadang-kadang, siswa juga diminta untuk membuat persamaan atau pertidaksamaan linear dari yang diberikan. Tentunya, Anda harus mengingat kembali tentang persamaan garis yang telah dipelajari. Jika garis batas yang akan diberikan pada daerah penyelesaian sistem perti daksamaan linear memotong sumbu 

Ø SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

Bentuk umum:
a1 x  +    b1y  =  c1
a2 x  +  b2y  =  c2         dengan a1, b1, c1, a2, b2 dan c2    R

Menentukan penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan beberapa cara,  diantaranya
adalah menggunakan  menggunakan metode :
1.    metode substitusi
2.    metode eliminasi
3.    metode eliminasi – substitusi

1.    Menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi
Sistem persamaan linier dua variabel ( SPLDV ) :    2x – y  = 5
-3x + y = 4

Dapat ditulis dalam bentuk lain, misalnya :    y  =  2x  -  5    ……1)
y  =  4 +  3x    ……2)

Karena y pada persamaan 1) sama dengan nilai y pada persamaan 2), maka
2x – 5 = 4 + 3x
2x – 3x = 4 + 5
-  x  =   9
x  =  -9

x  =  – 9  disubstitusikan ke persamaan 1) atau  2)
Persamaan  1)
y  =  2x  -  5
y  =  2(-9)  -  5
y  =  -18  -  5
y  =  -23
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah  :   (-9 , -23)

2.    Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Eliminasi
Misalkan kita ingin menentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut :
2x  -   y    =  2         …………  1)
3 x -  2y  =   1        …………  2)
Misalnya kita akan mengeliminasi variabel y. Karena koefisiennya tak sama, maka kita akan mengalikan  pers 1) dan  2) dengan konstanta yang bersesuaian sehingga koefisien  y  menjadi sama.
2x  -   y    =  2      x 2        4 x -  2 y = 4
3x  -  2y  =  1        x 1        3x  -  2 y =  1   _
x  -  0    =  3
x  =  3
Mengeliminasi variabel  x
2x  -   y    =  2       x 3        6 x -  3 y = 6
3x  -  2y  =  1        x 2        6x  -  4 y =  2   _
0  +  y   =  4
y   =  4
Jadi himpunan penyelesaian =   (3 , 4)

3. himpunan penyelesaian   SPLDV berikut dengan metode eliminasi
a.  4x  -  3y  =  31        b.  4y  -  2x  =  44
2x  +  5y  =  33             2y  +  3x  =  22

3.    Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Eliminasi dan Substitusi
Contoh :
Tentukan himpunan  Penyelesaian  dari
2x  -  3y  =  4        ………  1)
7x  +  2y =  39        ………  2)
Solusi
2x  -  3y  =  4       x  7            14x  -   21y   = 28
7x  +  2y =  39     x  2            14x  +  4y     = 78
0   -  25y   = -50
y   =2

Substitusikan  y  =  2  ke persamaan  1)
2x  -  3y  =  4
2x  -  3( 2 )  =  4
2x  -  6    =  4
2x  =  10
x  =  5
Himpunan penyelesaian  =   (5, 2)

Ø Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ( SPLTV )

SPLTV dengan variabel x, y, z secara umum dinyatakan sebagai berikut :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3                dengan  ai, bi, ci, di   R, i  = 1, 2, 3
Menyelesaikan SPLTV berarti menentukan nilai variabel x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan linear tersebut.
Penyelesaian dari SPLTV adalah HP =   (x, y, z)
Untuk menentukan HP dari SPLTV dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV :
x  -  y  +  2z   =  5  …………….1)
2x  +  y  -  z     =  9  …………….2)
x  – 2y  + 3z  =  4  …………….3)
Solusi
Misalkan kita akan mengeliminasi variabel x
*  1) dan 2)
x  -  y  +  2z  =  5      x  2       2x  -  2y  +  4z  =  10
2x  +  y  -   z   =  9      x  1    2x  +   y   -    z  =   9    _
-  3y  +  5z  =  1     …………4)
*  1) dan 3)
x  -  y  +  2z   =  5
x  – 2y  + 3z  =  4    _
y  -    z  =  1     ………..  5)

•    4) dan  5)
-  3y  +  5z  =  1      x  1        -3y  +  5z  =  1
y  -     z  =  1      x  3          3y  -  3z  =  3     +
2z  =  4
z  =  2
Substitusikan  z   =   2   ke  5)
y  -   z  =  1
y  -  2  =  1
y  =  1 + 2
y  =  3
Substitusikan  y  =  3  dan  z  =  2  ke  1)
x  -  y  +  2z  =  5
x  -  3  +  2(2)  =  5
x  -  3  +  4  =  5
x  +  1  =  5
x  =  4
Jadi himpunan penyelesaian =    (4, 3, 2)

B.     Sistem Pertidaksamaan linear

Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Kita ingat bahwa suatu pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat salah satu dan tanda-tanda ketidaksamaan seperti: lebih dan (>), tidak kurang dan (), kurang dan (<), atau tidak lebih dan ().

Untuk memahami pengertian pertidaksamaan linear dengan dua variabel, simaklah beberapa

bentuk hubungan berikut

i) x - 3y < 5 iii) x - y > -3

ii) 2x + y 4         iv) 2x         + 5y  10

Dan hubungan-hubungan di atas dapat diamati dua hal, yaitu:

             hubungan itu memuat salah satu lambang ketidaksamaan disebut pertidaksamaan.

             hubungan itu memuat dua variabel (variabel-variabel x dan y) dan masing-masing variabel berpangkat satu (linear) disebut linear dengan dua variabel

Bertolak dari pengamatan tersebut, maka bentuk-bentuk hubungan di atas dinamakan sebagai pertidaksamaan linear dengan dua variabel. Dengan demikian, pertidaksamaar.

linear dengan dua variabel dapat didefinisikan sebagai berikut:

Pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang di

dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel

 atau  (dan)

secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah (algoritma) sebagai berikut.

1.           Gambarlah garis  pada sebuah bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan titik potong garis dengan sumbu . Garis  ini membagi bidang Cartesius menjadi dua bagian bidang.

2.           Ambil sebarang titik uji  yang terletak di luar garis  dan hitunglah nilai  kemudian bandingkan nilai  dengan nilai c.

       Jika , maka bagian belahan bidang yang memuat titik  ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

       Sebaliknya jika , maka bagian belahan bidang yang memuat titik  ditetapkan sebagai daerah himpunan penyelesaian dan pertidaksamaan .

Tandailah bagian belahan bidang yang menunjukkan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan raster, sedangkan bagian belahan yang diraster (daerah bersih) menunjukkan bukan daerah himpunan penyelesaian

Contoh:

Tentukanlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksarnaan linear dua variabel

Penyelesaian:

1.                 Gambarlah garis .

             Untuk x = 0. diperoleh y = -4, titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -4)

             Untuk y = 0, diperoleh x = 3, titik potong dengan sumbu X adalah (3, 0)

Garis  digambarkan pada bidang Cartesius dengan cara menghubungkan titik (0, -4) dan titik (3, 0).

2.                 Ambil titik uji P(0, 0), sehingga diperoleh hubungan Daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan  ditandai dengan warna sebagaimana

Ø  Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

Sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel  x dan y secara umum berbentuk :
y  =  ax  +  b
y  =  px2 + qx + r    dengan   a, b, p, q  dan  r    R
Untuk menentukan himpunan penyelesaian  SPLKDV  digunakan  metode  substitusi – eliminasi
Contoh
Tentukan SPLKDV  berikut :
y  =  6x  -  6    ………. 1)
y  =  x2 + 3    ………. 2)
Solusi
x2 + 3  =  6x  -  6
x2 -  6x  +  9  =  0
(x – 3 )( x – 3) = 0
x  =  3
x  =  3  substitusi  ke  1)
y  =  6x  -  6
=  6(3) – 6
=  18  -  6
y  =  12
Jadi himpunan penyelesaian  =   (3, 12)

Ø Berikut ini adalah contoh masalah sehari-hari yang merupakan masalah persamaan linear. Pertama kali yang kita lakukan  adalah menerjemahkan masalah tersebut ke dalam bahasa matematika atau yang sering disebut dengan merancang model matematika. Keahlian membuat model matematika mutlak dimiliki untuk  menyelesaikan masalah dengan benar. Selanjutnya menyelesaikan masalah tersebut dengan konsep-konsep sistem persamaan linier.

Contoh soal:

Di suatu toko Adi membeli 4 buku tulis dan 3 pensil dengan harga  Rp 9.750,00 dan Budi membeli 2 buku tulis dan sebuah pensil dengan harga Rp 4.250,00. Jika  Frida membeli 5 buku tulis dan 2 pensil berapakah harga yang harus dibayar oleh Frida ?

Solusi

Model matematika
Misalkan harga sebuah buku tulis : x rupiah dan harga sebuah pensil y rupiah
Maka model matematika dari masalah di atas :
4x  +  3y  =  9.750  …………… 1)
2x  +    y  =  4.250  …………… 2)

Dengan metode eliminasi dan substitusi diperoleh sebagai berikut :

4x  +  3y  =  9.750      x  1        4x  +  3y  =    9.750
2x  +    y  =  4.250      x  3        6x  +  3y  =  12.750    _
-2x  =  -3000
x  =  1.500
x = 1.500  substitusi ke  persamaan 1)
4x  +  3y  =  9.750
4( 1.500 ) +  3y  =  9.750
6.000 +  3y  =  9.750
3 y =  9.750 – 6.000
3y  =  3.750
y  =  1.250
Jadi harga sebuah buku tulis  Rp 1.500,00 dan harga sebuah pensil adalah  Rp 1.250,00
Frida membeli lima buku tulis dan dua pensil, sehingga Frida harus membayar
5 ( 1.500 )  +  2 ( 1.250 )  =  Rp  10.000,00  

Ø Penerapan Pertidaksamaan Satu Variabel Berbentuk Pecahan Aljabar

Contoh
Sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang akan dibuat dengan keliling 50 m. Jika luas kolam renang tersebut paling sedikit  136 m2, tentukan ukuran panjang kolam renang yang memenuhi syarat tersebut
Solusi
Keliling kolam renang adalah  50  m
Keliling ( K )  =  2  (p+l)  =  50
L  =  25  -  p
Luas kolam sedikitnya  136 m2.
Luas (L)  =  p.l              p(25  -  p)     136
25 p  -  p2     136
P2  -  25  p  -  136     0
(p  – 17)(p – 8)    0
Titik kritisnya  8  dan  17. Pada garis bilangan kita gambar seperti berikut

O        O
8        17
Jadi ukuran kolam renang yang memenuhi suarat adalah yang memiliki panjang antara  8  m sampai  17 m